Förstnerin operaattori soveltuu erityisesti pistemäisten kohteiden kuten nurkkien tai ympyrämäisten kohteiden keskipisteiden irrottamiseen kuvilta. Jotta irrotetuista pisteistä olisi hyötyä, niiden tulisi olla ympäristöstään selkeästi erottuvia. Geometriset tai radiometriset vääristymät eivät saisi vaikuttaa ratkaisevasti kohteiden paikannettavuuteen. Pisteiden tulisi olla paitsi paikallisesti erottuvia myös globaalisti erotettavissa. Esimerkiksi liian säännöllisestä pisteistöstä voi olla vaikea tunnistaa korreloivia pisteitä eri kuvilta. Kohina ei saisi vaikuttaa pisteen erottuvuuteen. Lisäksi irrotettavat kohteet olisi hyvä olla tulkittavissa. Esimerkiksi jo irrotusvaiheessa voidaan päättää, minkä tyyppisiä kohteita haetaan. Förstnerin operaattorilla voidaan etsiä pisteitä, jotka täyttävät suurimmalta osalta nämä vaatimukset. (Förstner et al., 1987)
Förstnerin operaattori pohjautuu pienimmän neliösumman yhteensovitukseen. Gauss-Markov -mallin mukaan pienimmän neliösumman sovituksen menetelmän (PNS) yhtälöt ovat
(14)
missä l on havaintovektori, A on rakennematriisi, v
sisältää residuaalit eli jäännösvirheet, x
sisältää tuntemattomat,
on varianssikovarianssimatriisi,
on varianssi ja
on painomatriisi. Normaaliyhtälö, joista tuntemattomat on helppo
ratkaista, voidaan kirjoittaa
.
(15)
(Förstner et al., 1987 / Inkilä, 1996)
Förstnerin operaattorin eri tehtäville voidaan kirjoittaa omat
funktionaaliset mallit ja niistä johdetut PNS-mallit ja
normaaliyhtölöt. Eri tehtäviä ovat nurkkien, painotettujen
keskipisteiden ja ympyrämäisten kohteiden keskipisteiden etsiminen.
Yhteistä kaikille tehtäville on, että tuntemattomina ovat vain
etsittävän pisteen rivi ja sarake eli kuvakoordinaatit
.
Kerralla tarkastellaan pientä ikkunaa, jonka sopiva koko on 5x5 - 16x16
pikseliä. Ikkunan sisällä kaikki pikselit johtavat sovituksessa
yhteen pisteeseen, joka on parhaiten erottuva. Ikkunaa liikutetaan yli kuvan,
jotta kaikki pikselit saadaan käytyä läpi. (Förstner et
al., 1987)
Vertailun vuoksi on esitän lyhyen esimerkin pienimmän neliösumman sovituksesta. Erityisesti kannattaa kiinnittää huomiota esimerkissä saatavan normaaliyhtälön ja kappaleissa 4.1, 4.2 ja 4.3 esitettävien eri tehtävien normaaliyhtälöiden yhtäläisyyksiin.
Tuntemattomana voidaan pitää etsityn kohteen koordinaatteja valitun
ikkunan sisällä
.
Kirjoitetaan epälineaarinen malli
,
(16)
missä
kuvaa käytetyssä ikkunassa siirretyn kohteen harmaasävyarvoja,
on kohteen siirto ja
on kohinaa. Malli voidaan linearisoida derivoimalla:
.
(17)
Yhtälössä kannattaa huomata, että
on x-suunnassa ja
y-suunnassa otetun gradienttikuvan arvo kyseisessä pisteessä. Mallin
painomatriisi voi olla yksikkömatriisi (W=I), koska kohinan varianssia
voidaan pitää vakiona kuvalla. Harmaasävyjen varianssi vastaa
kohinan varianssia. Lineaarisen mallin normaaliyhtälöstä saadaan
tällöin
,
(18)
missä
kertoo, että kaikki käytetyn ikkunan sisällä olevat
pikselit tulee ottaa mukaan laskuihin. (Förstner et al., 1987)