4 Förstnerin operaattori

Förstnerin operaattori soveltuu erityisesti pistemäisten kohteiden kuten nurkkien tai ympyrämäisten kohteiden keskipisteiden irrottamiseen kuvilta. Jotta irrotetuista pisteistä olisi hyötyä, niiden tulisi olla ympäristöstään selkeästi erottuvia. Geometriset tai radiometriset vääristymät eivät saisi vaikuttaa ratkaisevasti kohteiden paikannettavuuteen. Pisteiden tulisi olla paitsi paikallisesti erottuvia myös globaalisti erotettavissa. Esimerkiksi liian säännöllisestä pisteistöstä voi olla vaikea tunnistaa korreloivia pisteitä eri kuvilta. Kohina ei saisi vaikuttaa pisteen erottuvuuteen. Lisäksi irrotettavat kohteet olisi hyvä olla tulkittavissa. Esimerkiksi jo irrotusvaiheessa voidaan päättää, minkä tyyppisiä kohteita haetaan. Förstnerin operaattorilla voidaan etsiä pisteitä, jotka täyttävät suurimmalta osalta nämä vaatimukset. (Förstner et al., 1987)

Förstnerin operaattori pohjautuu pienimmän neliösumman yhteensovitukseen. Gauss-Markov -mallin mukaan pienimmän neliösumman sovituksen menetelmän (PNS) yhtälöt ovat

(14)

missä l on havaintovektori, A on rakennematriisi, v sisältää residuaalit eli jäännösvirheet, x sisältää tuntemattomat, on varianssikovarianssimatriisi, on varianssi ja on painomatriisi. Normaaliyhtälö, joista tuntemattomat on helppo ratkaista, voidaan kirjoittaa

. (15)

(Förstner et al., 1987 / Inkilä, 1996)

Förstnerin operaattorin eri tehtäville voidaan kirjoittaa omat funktionaaliset mallit ja niistä johdetut PNS-mallit ja normaaliyhtölöt. Eri tehtäviä ovat nurkkien, painotettujen keskipisteiden ja ympyrämäisten kohteiden keskipisteiden etsiminen. Yhteistä kaikille tehtäville on, että tuntemattomina ovat vain etsittävän pisteen rivi ja sarake eli kuvakoordinaatit . Kerralla tarkastellaan pientä ikkunaa, jonka sopiva koko on 5x5 - 16x16 pikseliä. Ikkunan sisällä kaikki pikselit johtavat sovituksessa yhteen pisteeseen, joka on parhaiten erottuva. Ikkunaa liikutetaan yli kuvan, jotta kaikki pikselit saadaan käytyä läpi. (Förstner et al., 1987)

Vertailun vuoksi on esitän lyhyen esimerkin pienimmän neliösumman sovituksesta. Erityisesti kannattaa kiinnittää huomiota esimerkissä saatavan normaaliyhtälön ja kappaleissa 4.1, 4.2 ja 4.3 esitettävien eri tehtävien normaaliyhtälöiden yhtäläisyyksiin.

Tuntemattomana voidaan pitää etsityn kohteen koordinaatteja valitun ikkunan sisällä . Kirjoitetaan epälineaarinen malli

, (16)

missä kuvaa käytetyssä ikkunassa siirretyn kohteen harmaasävyarvoja, on kohteen siirto ja on kohinaa. Malli voidaan linearisoida derivoimalla:

. (17)

Yhtälössä kannattaa huomata, että on x-suunnassa ja y-suunnassa otetun gradienttikuvan arvo kyseisessä pisteessä. Mallin painomatriisi voi olla yksikkömatriisi (W=I), koska kohinan varianssia voidaan pitää vakiona kuvalla. Harmaasävyjen varianssi vastaa kohinan varianssia. Lineaarisen mallin normaaliyhtälöstä saadaan tällöin

, (18)

missä kertoo, että kaikki käytetyn ikkunan sisällä olevat pikselit tulee ottaa mukaan laskuihin. (Förstner et al., 1987)


Sisällysuetteloon
Seuraava kappale