Vektorin s projisiointi karteesisen 2-D koordinaatiston koordinaattiakseleille.

Kuvavektorin s projisiointi XY koordinaatistoon tai xy-koordinaatistoon.

Kuvavektorin s projisiointi xy-koordinaatistoon koordinaatiston XY kautta.

 
Kiertokulmat ja kiertomatriisi 2-D koordinaatiston muunnoksessa.
 

 

 
Kiertomatriisi. Fotogrammetrian kuvausyhtälöissä kierrot kuvataan positiivisina kiertoina, kun muunnos tehdään kohteesta kuvalle. Tätä kiertomatriisia merkitään R^T. Muunnoksissa kuvilta kohteelle kiertomatriisit merkitään R.

Osakiertomatriisit omega, fii ja kappa kohteesta kuvalle.

Kuvakoordinaatiston kierto XY-koordinaatistosta xy-koordinaatistoon suuntakosinenin ilmaistuna.

Kuvakoordinaatiston kierto xy-koordinaatistosta XY-koordinaatistoon suuntakosinenin ilmaistuna.

Suuntakosinien ja kiertokulman mukaan lausuttujen kiertomatriisin alkioiden yhteys 2-D koordinaatiston muunnoksessa.

Osakiertomatriisit omega, fii ja kappa kohteesta kuvalle.

3-D kiertomatriisin muodostaminen peräkkäisistä 2-D kierroista X-, Y- ja Z-akselien ympäri.

Kiertomatriisit suuntakosinein kohteelta kuvalle (R^T) ja kuvalta kohteelle(R).

Kohde ja kohdekoordinaatisto.

Kameran orientointi määritellään tässä kuvanottopaikan O1 ja kuvaussuuntaan sijaitetun tähtäyspisteen T mukaan. Kamerakoordinaatisto xyz sijoitetaan kuvanottopaikkaan ja projektiokeskus O1 on origona. Kuvataso toimii koordinaatiston xy-tasona ja kuvasivu asetetaan horisontin suuntaan. Tällöin x-akseli suuntautuu kuvaussuuntaan nähden oikealle pisteeseen  O2 ja y-akseli ylös. Koska koordinaatisto on oikeakätinen,  z-akseli osoittaa kuvaussuunnasta kohteesta kameraan eli katsojaan päin. Oheisessa piirroksessa kameramallina on stereokamera O1O2, kameravakio c ja kuvakanta B. Kuvausgeometria vastaa stereokuvauksen normaalitapausta. ässä kuvassa

 Sekä kamera- että kohdekoordinaatisto määrittyvät kolmessa yhteisessä pisteessä T, O1 and O2.

Kohde- ja kamerakoordinaatistojen välinen yhteys voidaan kuvata lausumalla vektorien O1O2, TO1 x O1O2, ja TO1 suuntaiset yksikkövektorit kummassakin koordinaatistossa. Tällöin kohteen yksikkövektorit ijk vastaavat koordinaatistojen välistä kiertomatriisia Robject-to-camera ja kameran yksikkövektorit sen kantavektoreita ijk.

Likimääräisen kiertomatriisin esittäminen kohteelta kuvalle. Huomaa, että koordinaatistot ovat vasenkätisiä, millä ei tässä tarkastelussa ole merkitystä. Koordinaatistokuvasta nähdään, että X- ja x-koordinaattiakselit kasvavat samaan suuntaan. Tällöin uudet x-koordinaatit saavat arvot suoraan vanhoista X-koordinaateista eli kiertomatriisin vasen yläalkio saa arvon 1. Uudet y-koordinaatit saavat arvoikseen vanhojen Z-koordinaattien vastaluvut eli oikea keskirivin alkioista saa arvon -1. Uusiksi z-koordinaateiksi tulevat vanhat Y-koordinaatit sellaisenaan eli keskimmäinen alarivin alkioista saa arvon 1. Loput alkiot ovat nollia.

Sama kiertomatriisi laskettuna tarkoista kulmasuureista. Kiertomatriisi R* vastaa yllä esitettyä likimääräistä kiertomatriisia kohteelta kuvalle.

 Kiertokulmien arvot voidaan laskea kiertomatriisin alkioista. Kulmien likiarvoja on vaikea päätellä kuvasta, mutta ne saadaan yllä esitetyn likiarvoisen kiertomatriisin kautta.

Joissain tapauksissa kuvan ulkoisen orientoinnin kulmat esitetään kuvakierron (kappa) sekä suurimman kallistuksen suunnan (alpha) ja suuruuden (nyy) avulla. Myös nämä voidaan laskea kiertomatriisin alkioista.

Näillä kolmella ehdolla varmistutaan siitä, että kiertomatriisin rivi- ja sarakevektorit kuvaavat yksikkövektoreita (normality constraints).

Näillä kolmella ehdolla varmistutaan siitä, että kiertomatriisin rivi- ja sarakevektorit säilyvät muunnoksen aikana kohtisuorassa toisiinsa nähden (othogonality constraints).